PES 2.0

aneb návrh na revizi Protiepidemického systému

Protiepidemický systém PES byl v ČR zaveden v průběhu listopadu letošního roku a od té doby by měl pomáhat k regulaci pandemie COVID na území ČR. Píši úmyslně „by měl pomáhat“, neboť reálně se tak příliš neděje. Politické důvody ponechme stranou a zaměřme se na ty technické. Pro začátek by ale bylo dobré podívat se na to, co tvoří systém PES.

Co je PES a jak funguje?

Jak již popsal jeden ze spoluautorů PES, jde vlastně o regulátor, který na základě hodnoty indexu rizika (který je hlouběji popsán, včetně matematického pozadí, zde) a tabulky opatření rozhoduje o tom, jaká opatření budou aktuálně v platnosti. Algoritmicky by měl fungovat tak, že se týden sbírají údaje, z nich (a jejich historie) se vypočítá index rizika a na základě jeho hodnoty se následující týden rozhodne o platných opatřeních a ta se následně zavedou. Podle toho, jaký efekt přinesou, se další týden (týdny) sledují vstupní veličiny pro výpočet indexu rizika a opakuje se rozhodování o dalších opatřeních.

Z regulačního hlediska tak jde o klasický zpětnovazební regulátor, který má ale dvě zásadní nevýhody:

1. Značné dopravní zpoždění

2. Absence vstupu pro požadovaný výsledek

Důsledkem bodu 1 mohou být oscilace systému, které pozorujeme nyní – rozvolnění na stupeň 3 vede k nárůstu počtu nakažených. Index rizika začíná narůstat až s jistým zpožděním, které dále umocňuje odkládání rozhodnutí o přechodu do vyššího stupně PES, kdy namísto zavedení stupně 4 míříme až do stupně 5. Po jeho zavedení začnou počty nakažených opět klesat, přes stupeň 4 (který nenese mnoho zásadních odlišností od stupně 5) se přesuneme do stupně 3, který nás vystřelí zpět.

Zde je nutno zdůraznit, že toto chování má, kromě samotného zpoždění dané způsobem výpočtu indexu rizika, hlavní příčiny v nespojitosti regulace (tabulka má pouhých 5 diskrétních stupňů) a neschopnosti včas zareagovat na změnu indexu rizika.

Důsledkem bodu 2 je pak „bezcílnost“ regulace. Neexistuje žádná konkrétní hodnota, na kterou bychom se měli při úspěšné funkci PES dostat. Index rizika je tak opravdu „jen“ hodnotícím kritériem, které spíše než rizikovost postupu pandemie pro populaci hodnotí riziko zahlcení zdravotního systému. PES je tak schopen pouze měnit dávkování pacientů zdravotnickým zařízením, ale nedokáže pandemii zastavit.

Základní úvahy pro návrh PES 2.0

Pokud by měla být navržena alternativa současného systému PES, pak zásadními otázkami budou meze, jak lze daný systém realizovat. Tato omezení jsou dána dvěma hlavními kritérii:

1. Regulace nesmí být příliš rychlá

2. Regulace nemůže být spojitá

ad 1. Pokud bychom navrhli PES 2.0 tak, aby reagoval příliš rychle (například na denní výkyvy), dojde opět ke zmatkům v zaváděných opatřeních, která budou chrlena příliš rychle a lidé se jim nebudou stačit přizpůsobit. Zároveň může dojít k nežádoucím extrémním skokům v regulaci, které mohou vzniknout na základě značně rozdílných hodnot ve dvou po sobě následujících dnech (typicky neděle a následující pondělí).

ad 2. Ideální regulace by samozřejmě spojitá byla, to ale v praxi nelze zavést. Znamenalo by to vytvoření extrémního množství regulačních stavů (stupňů PES), které by byly nepřehledné a opět by se jim špatně přizpůsobovalo. Pro většinu obyvatelstva je současná stupňovitost zcela dostačující, pouze by bylo vhodné jednotlivé stupně rovnoměrněji rozdělit (a odpolitizovat) a případně doplnit.

Index rizika 2.0

Jak jsem již napsal výše, index rizika v současné době spíše popisuje chování pandemie s ohledem na možnost zahlcení zdravotnických zařízení a nevede k regulaci k určitému cíli. V rámci výpočtu uvažuje značné množství proměnných, které ale ve výsledku vedou k tomu, že jeho výsledek může být optimističtější, nežli skutečnost (ať již vinou původního výpočtu nebo neautorizovaných zásahů) a má značné dopravní zpoždění. Typickou ukázkou tohoto jevu je konec listopadu, kdy jsme prošli inflexním bodem, reprodukční číslo se zvýšilo z 0,7 na 0,9, ale index rizika ještě prakticky týden ukazoval nezměněnou hodnotu.

Druhým extrémem byla orientace čistě na reprodukční číslo, která byla praxí v první vlně. Důvod je nasnadě: řekneme-li si prostě, že pokud máme reprodukční číslo nižší než 1, je vše OK, můžeme buď chybně rozvolnit a nebo se potýkat s velmi pomalu dohořívající epidemií (pro R blížící se k 1). Stejně jako v případě indexu rizika nám stále chybí nějaká cílová hodnota, kam bychom se chtěli dostat.

Odpoutejme se nyní od modelování pandemie čistě k matematickému popisu jejího chování. Šíření počtu nakažených je v současné době popsáno reprodukčním číslem, které se ale na základě platných opatření může zvyšovat i snižovat. Pro popis pandemie je proto vhodné sledovat obě veličiny, přičemž riziko pro obyvatelstvo bude vyšší, pokud bude R > 1 a mezitýdenní rozdíl reprodukčního čísla bude ΔR > 0 (reprodukční číslo se zvyšuje; opatření nezabírají) a nižší v případě R > 1 a ΔR < 0 (reprodukční číslo se snižuje; opatření zabrala). Ideální stav je samozřejmě kombinace R < 1 a ΔR < 0, tedy stav, kdy se snižuje počet nově nakažených a reprodukční číslo nám klesá. V případě, že se počet nakažených snižuje, ale reprodukční číslo roste, je něco špatně a je třeba se vrátit k předchozím opatřením.

Kritická tedy bude kombinace obou čísel R a ΔR, kterou lze vyjádřit například jejich součtem, s tím, že hraniční hodnota tohoto součtu by byla (R + ΔR) = 1. Jako příklad vezměme 30. 11. 2020. Reprodukční číslo bylo tehdy na hodnotě cca R = 0,9, přičemž mezitýdenní nárůst byl ΔR = 0,2. Součet tedy ukazoval hodnotu (R + ΔR) = 1,1, která už ukazovala na to, že je něco špatně a není vhodné pokračovat v rozvolňování, spíše je vhodné navrátit nějaké restrikce. Index rizika byl v té době na hodnotě RI = 57, tedy lehce ve třetím stupni, ve kterém ještě dalších pět dní zůstal.

Zavedení cílové hodnoty pak lze provést připočtením poměru týdenního průměru přírůstku nově nakažených k požadovanému průměrnému týdennímu přírůstku. Index rizika 2.0 by tak měl formu

RI2 = N/P + R + ΔR

kde N je denní přírůstek počtu nově nakažených
P je požadovaná hodnota denního přírůstku počtu nakažených

R je reprodukční číslo

ΔR je mezitýdenní změna reprodukčního čísla

Při této definici by zlomovým byl bod RI2 = 2; tj. bod, kdy jsme přesně na požadovaném denním přírůstku počtu nakažených (N = P), reprodukční číslo je R = 1 a nedochází k jeho změně (ΔR = 0). Při nižších hodnotách bychom mohli rozvolňovat (buď je málo nakažených a nebo se epidemie značně redukuje), při vyšších by bylo nutno zavádět nové restrikce (což by fungovalo i při velkých hodnotách R a ΔR a malém počtu nakažených). Zároveň by tak existovala cílová hodnota, na kterou bychom epidemii regulovali.

Tabulka opatření PES 2.0

Zde se jako poměrně vhodné jeví rozdělení do šesti stupňů podobných těm současným s tím, že jádro by vycházelo z nedávno provedeného výzkumu, aby se předešlo politickým diskusím a výsledek byl skutečně objektivní. Z něj vzešlá tabulka by byla rozdělena na čtyři úrovně s tím, že by byla doplněna úroveň 5 – úplný zákaz vycházení kromě pohybu ve volné přírodě a nákupů – a úroveň 0 – žádná omezení. Výhoda je pak nasnadě – tabulka PES 2.0 obsahuje oba extrémy, díky čemuž může být v rámci nějaké zákonné úpravy trvale v platnosti, i kdyby se podařilo koronavirus vymýtit. Jako smysluplné rozdělení by se pak jevilo po intervalech:

RI2 v intervalu 0 až 0,99: stupeň 0
RI2 v intervalu 1,0 až 1,49: stupeň 1
RI2 v intervalu 1,5 až 1,99: stupeň 2
RI2 v intervalu 2,0 až 2,49: stupeň 3
RI2 v intervalu 2,5 až 2,99: stupeň 4
RI2 větší než 3: stupeň 5

Pokud bychom ale požadovali dosažení počtu čerstvě nakažených pod 1000 denně (respektive méně než 7000 za týden), pak by nevýhodou tohoto systému v případě jeho okamžitého zavedení byl okamžitý pád do stupně 5, který by trval až do chvíle, než bychom se dostali za předpokladu konstantního reprodukčního čísla 0,5 na 2,49 násobek požadovaného počtu nově nakažených, tzn. 2490 lidí denně. Pak teprve by bylo možné provést rozvolnění na 4. stupeň a konvergence k požadovanému počtu nově nakažených by se mírně zpomalila. Počátečnímu “šoku” by pak bylo možné předejít postupným zvyšováním kritéria P - začít např. na hodnotě kolem 3000 a po dvou týdnech ji snižovat po 500 až k žádané hodnotě 1000 nakažených denně.

Druhou a zásadní nevýhodou je totéž, co v případě současného PES: vláda jej prostě může ignorovat. V tuto chvíli je ovšem každý systém zbytečný.